199数学

条充 先秒后做
单选 先做后秒

199数学原型提大串讲72点

199数学原型提大串讲72点(背😄)

199数学基础总结

199数学基础总结(基础点进去看👀)

199数学_计算力训练营_刘智👀

199 陈剑

199数学_思维81绝_陈剑

条件充分性判断-秒杀技巧

做题步骤

1. 先分题型
   • 先确定联合型，再确定单独型
   • 如果联合型和单独型混淆，都视为单独型
   • 联合型全选C,单独型全选A
2. 在做联合型
   1. 对称性
   2. 奇偶性
   3. 联合是否还缺条件，有缺改E
   4. 联合找反例，找到反例改E
3. 最后做单独型
   1. 奇偶性
   2. 对称性
   3. 看看哪个条件与结论联系紧密，优先选联系紧密的
   4. 再分析有没有一正一负,等价条件，如果有改为D

Tips:如果条件是范围，取反例

三个大招

对称

1. 交换条件中的变量，不改变条件，则称条件对称；
2. 交换大前提中的变量，不改变大前提，则称大前提对称；
3. 交换结论中的变量，不改变结论，则称结论对称；

解题步骤：

1. 前提：结论要为能确定
2. 条件对称,结论不对称 => 不能确定 => 排除
3. 如何判断是否对称：交换条件/大前提/结论中的变量，结果不改变，则为对称

偶次方

没有限制正数，结论奇次方，条件偶次方->不充分。

反例

1. 反例
   • 反(结论反向取值)+例(同时找满足条件的值)
   • 反例如果有值–>不充分
   • 反例如果没有值–>充分
2. 范围
3. 0的妙用 (要么取0，要么让它等于0)

判断题型

联合型

结论多变量
结论多变量
结论多变量

每个条件部分变量或者部分方程，联合3、4型

1. C
   • 定性+定量
     • 定性：没有数字，列不出方程(不等式)
     • 定量：有数字，可以列出方程(不等式)
     • 等号(为、是、成 等) + 不等号(大于、小于、多于、少于 等)：条件分别是等号和不等号
     • 不等关系的信号词： 大于、至少、不够、不超过、最多、最大值、最小值、内、达到、 递增、三角形的三边长、有实根、不同实根、不相交、有两个交点、 两直线仅有一个交点。
   • 结论有多个未知数，每个条件只有部分未知数
   • 结论有多个未知数，每个条件只有部分方程
2. C/E型，优先选C
   • 先选C,之后检查4次(二次验证)
     1. 奇偶性
     2. 对称性
     3. 联合起来有反例
     4. 联合起来还缺不缺
3. E
   • 联合起来还缺不缺
   • 联合起来有反例

单独型

结论不是明显的多变量
结论不是明显的多变量
结论不是明显的多变量

1. A/B型
   • 一字之差、两字之差 且无法联合
   • 一程之差(方程)
   • 一念之差(概念)
   • 一围之差(范围)
   • 一系之差(不等关系)
2. A/B型优先选A,在检查4次
   1. 奇偶性
   2. 对称性
   3. 举条件2的反例，没有反例则选B,有反例则选A。如果还有时间，在举条件1的反例。
3. D型
   • 两条件一正一负
   • 两条件等价

条件充分性判断-专项突破

1.概念

1. 判断所给出的条件 能否 充分支持 题干中陈述的结论。
2. 条充 => 恒成立 （判断恒成立）
3. ️⭐️⭐️⭐️只可从条件推结论。⭐️⭐️⭐
4. 结论只可以等价变换。
5. ️⭐️⭐️⭐️条件为结论的子集必充分，即子集充分。⭐️⭐️⭐️
6. 例子说明
   如果能从条件中找到一个反例，则推不出结论恒成立，故条件不充分。反例：一票否决。
   1. 特例: 满足条件，称为特例。
   2. 正例: 满足条件，也满足结论,称为正例。
   3. 反例: 满足条件，不满足结论,称为反例。

2.破题方向

等号 > 复杂的 > 简单的 > 不等号

1. 没有大前提，如果条件比结论复杂，先从复杂的条件➡️➡️➡️(推出)结论。
2. 没有大前提，如果结论比条件复杂，先从复杂的结论➡️ 等价变换。
3. 条件是等号，且方便带入计算的，先从条件➡️➡️➡️(推出)结论。
4. 有大前提，如果条件比结论复杂，大前提 + 条件 ➡️➡️➡️(推出)结论。
5. 有大前提，如果结论比条件复杂，大前提 + 结论(等价变换)，化简后再用条件➡️➡️➡️(推出)结论。
6. 条件(1)和条件(2)有公共条件，可以提取出来当做大前提。

3.建立联系

等差数列

三步走

1. 中值=均值 公式2，,9，,10
   (两个条件)化简多个a为一个a$\begin{cases}
   b = \frac{a+c}{2}\\
   a_{\frac{n+m}{2}} = \frac{a_n+a_m}{2}\\
   a_{\frac{1+n}{2}} = \frac{S_n}{n}
   \end{cases} $
   (一个条件)=> 特值
2. 有两个a,求$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$ 公式7
3. $a_n = a_m + (n-m)d $ 公式4 盖烂尾楼

基本公式

• 公式1 $a_n - a_{n-1} = d(n\geq 2) $等差数列的判定法则1
• 公式2 $ a,b,c成等差数列 ↔️ b = \frac{a+c}{2}$
• 公式3 $a_n = a_1+(n-1)d $
  • 公式5 $a_n = d·n + (a_1-d) = k·n + b $等差数列的判定法则2
  • 公式6 $n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1 $ 计算项数
• 公式4 $a_n = a_m + (n-m)d $ 盖烂尾楼
  • 公式8 $a_n+a_m = a_x+a_y
    \begin{cases}
    项数相同\\
    n+m = x+y
    \end{cases} $ 中值即均值
  • 公式9 $a_{\frac{n+m}{2}} = \frac{a_n+a_m}{2} $
  • 公式10 $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} = na_{\frac{1+n}{2}} ↔️ a_{\frac{1+n}{2}} = \frac{S_n}{n}$中值等于均值
  • 公式11 $S_n = \frac{d}{2}·n^2 + (a_1-\frac{d}{2})n + 0 = An^2+Bn+0 $ 等差数列的判定法则3
    • $当n = \frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}时，S_n有最值$
• 公式7 $d = \frac{a_n-a_m}{n-m} = \frac{高度差}{层差} $ 2个a求公差 计算公差

分类

1. 递推公式(定性)
   • 公式1 $a_n - a_{n-1} = d(n\geq 2) $等差数列的判定法则1
   • 公式2 $ a,b,c成等差数列 ↔️ b = \frac{a+c}{2}$
   • 公式5 $a_n = d·n + (a_1-d) = k·n + b $等差数列的判定法则2
   • 公式11 $S_n = \frac{d}{2}·n^2 + (a_1-\frac{d}{2})n + 0 = An^2+Bn+0$ 等差数列的判定法则3
     • $当n = \frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}时，S_n有最值$
2. 计算公式(定量)
   • 公式7 $d = \frac{a_n-a_m}{n-m} = \frac{高度差}{层差} $ 计算公差
   • 公式4 $a_n = a_m + (n-m)d ,a_m{d \choose ->}a_n $ 盖烂尾楼
   • 公式9 $a_{\frac{n+m}{2}} = \frac{a_n+a_m}{2} $ 化简
   • 公式10 $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} = na_{\frac{1+n}{2}} ↔️ a_{\frac{1+n}{2}} = \frac{S_n}{n}$中值等于均值
3. 其它
   • 公式3 $a_n = a_1+(n-1)d $
   • 公式6 $n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1 $ 计算项数
   • 公式8 $a_n+a_m = a_x+a_y $ 中值即均值

等比数列

基本公式

• 公式12 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = q(n\geq 2)\Rightarrow
  \begin{cases}
  a_n\not=0\\
  q\not=0
  \end{cases}$ 等比数列的判定法则1
• 公式13 $ a,b,c成等比数列 ↔️
  \begin{cases}
  a\not=0,b\not=0,c\not=0\\
  b^2 = ac
  \end{cases}$
• 公式14 $a_n = a_1·q^{n-1}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
• 公式15 $a_n = a_m·q^{n-m}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
• 公式16 $a_n = \frac{a_1}{q}·q^n = A·q^n $ 等比数列的判定法则2
• 公式17 $a_n·a_m = a_x·a_y
  \begin{cases}
  项数相同\\
  n+m = x+y
  \end{cases} $
• 公式18 $等比数列{a_n}中，”同奇偶，同正负” $
• 公式19 $ S_n =
  \begin{cases}
  a_1\frac{1-q^n}{1-q}, q\not=1 \\
  na_1,q=1\\
  \approx \frac{a_1}{1-q} ,|q|<1
  \end{cases} $等比数列求和公式 列出a1,q,n这三要素
• 公式20 $S_n = -\frac{a_1}{1-q}q^n + \frac{a_1}{1-q} = Cq^n - C $ 等比数列的判定法则3

分类

1. 递推公式(定性)
   • 公式12 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = q(n\geq 2)\Rightarrow
     \begin{cases}
     a_n\not=0\\
     q\not=0
     \end{cases}$ 等比数列的判定法则1
   • 公式16 $a_n = \frac{a_1}{q}·q^n = A·q^n $ 等比数列的判定法则2
   • 公式20 $S_n = -\frac{a_1}{1-q}q^n + \frac{a_1}{1-q} = Cq^n - C $ 等比数列的判定法则3
2. 计算公式(定量)
   a三要素<1,q,n>
   • 公式14 $a_n = a_1·q^{n-1}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
   • 公式15 $a_n = a_m·q^{n-m}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
   • 公式19 $ S_n =
     \begin{cases}
     a_1\frac{1-q^n}{1-q}, q\not=1 \\
     na_1,q=1\\
     \approx \frac{a_1}{1-q} ,|q|<1
     \end{cases} $等比数列求和公式 列出a1,q,n这三要素
3. 其它

既是等差数列又是等比数列

• 公式21 既是等差数列又是等比数列即非零常数列

既非等差数列又非等比数列

• 公式22 $a_n =
  \begin{cases}
  S_n - S_{n-1}, n\geq 2 \\
  S_1,n=1\\
  \end{cases}$

  • $已知S_n求a_n,适用于所有数列$

• 公式23 $\frac{1}{n·(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 列项公式

4.知识就是力量

必备公式

两个点，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

1. 两点间距离公式：$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

2. 中点距离公式：$m(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

3. 斜率公式：$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

4. 圆的一般方程式：
   $\begin{split}
   & (x-a)^2+(y+b)^2 = r^2 =>(a,b),r\\
   &\\
   &x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 若F=0,即x^2+y^2+Dx+Ey=0,此圆必过坐标原点(0,0)\\
   &圆心坐标 = 负一半(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}),半径 r =\sqrt{ (-\frac{D}{2})^2+(-\frac{E}{2})^2-F} 圆心坐标的勾股数\\
   \end{split}
   $

5. 点到直线距离公式：
   $\begin{split}
   & 点A(x_0,y_0)\\
   & 直线方程式：Ax+By+C=0\\
   &\\
   &点到直线距离d = \frac{点A带入直线方程式|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2(x的方向系数)+B^2(y的方向系数)}}\\
   & = \frac{带入的绝对值}{方向系数的勾股数}
   \end{split}
   $

6. $若半径 = 1， 2π·1=360^\circ => π=180^\circ$
   $\begin{split}
   & a^2+b^2 = c^2直角 \\
   & a^2+b^2 > c^2锐角 \\
   & a^2+b^2 < c^2钝角 \\
   & 斜率规律\\
   & 斜率k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{y_差}{x_差} \\
   & 斜率k > 0,x往右，y轴上升 \\
   & 斜率k = 0,平行于x轴 \\
   & 斜率k > 0,x往右,y轴下降 \\
   & 常用角度斜率，及互补斜率\\
   & 30^\circ,k = \frac{1}{\sqrt{3}}, 150^\circ,k = -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
   & 45^\circ,k = 1, 135^\circ,k = -1 \\
   & 60^\circ,k = \sqrt{3}, 120^\circ,k = -\sqrt{3} \\
   & \\
   & 结论两个：\\
   & ①两角互补，斜率相反 \\
   & ②两直线垂直，K_1·K_2 = -1 \\
   \end{split}
   $

7. 象限

   • 必过第1象限：k>0 或 b>0 ,必不过第1象限：k<=0 且 b<=0
   • 必过第2象限：k<0 或 b>0 ,必不过第2象限：k>=0 且 b<=0
   • 必过第3象限：k<0 或 b<0 ,必不过第3象限：k<=0 且 b>=0
   • 必过第4象限：k<0 或 b<0 ,必不过第4象限：k>=0 且 b>=0

8. 5类特殊对称

   • (a,b)关于原点(0,0)对称，(-a,-b)
   • (a,b)关于x对称，(a,-b)
   • (a,b)关于y对称，(-a,b)
   • (a,b)关于y=x对称，(b,a)
   • (a,b)关于y=-x对称，(-b,-a)

9. 横过定点 ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
   解关于x的方程ax=b
   $
   \begin{cases}
   x=\frac{b}{a},a\not=0 \\
   x\in R,a=0,b=0 \\
   x\in \varnothing, a=0,b \geq 0
   \end{cases}
   $

   $\\
   \begin{aligned}
   &\because 0乘以任何数等于0 \\
   &\therefore 当a=0且b=0时，方程ax=b的解为全体实数。\\
   &即不论x取何值，ax=b恒成立 ↔️ a=0且b=0
   \end{aligned}$

• 斜率含参，恒过定点
  • 例子
    $y = kx+2k => (x+2)k = y$
    当$
    \begin{cases}
    x+2=0 \\
    y=0
    \end{cases}
    $ 时，方程对一切k值恒成立
    不论k取何值，直线恒过(-2,0)定点

5.解题原则

暂时不学 不需要满分\60+

6.考试原型题

暂时不学 不需要满分\60+