基础

(背!!!)

分类

  1. 有理数
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 分数
  2. 无理数
  • 自然数
    • 正整数
    • 0

质数

2(唯一偶质数)，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61

平方数

$\begin{split}
&1^2=1 ,2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25 \\
&6^2=36 ,7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100 \\
&11^2=121,12^2=144,13^2=169,14^2=196,15^2=225 \\
&16^2=256,17^2=289,18^2=324,19^2=361 \\
\end{split}
$

根号

$\begin{split}
&\sqrt0 = 0,\sqrt1=1,\sqrt2=1.4,\sqrt3=1.7 \\
&\sqrt4=2,\sqrt5=2.2,\sqrt6=2.4,\sqrt7=2.6,\sqrt8=2.8,\sqrt9 =3 ,\sqrt10=3.2
\end{split}
$

配方公式

一元二次方程求根公式：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
推导过程：
$\begin{split}
&ax^2+bx+c=0 \\
&a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0 (a\neq0 ) \\
&a(x^2+2(x)(\frac{b}{2a})+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2+ \frac{c}{a}) =0 (a\neq0 ) \\
&(x^2+2(x)(\frac{b}{2a})+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2+ \frac{c}{a}) =0 (a\neq0 ) \\
&(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
&x + \frac{b}{2a} = \frac {\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
&x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{split}
$

  • 2=$2^1$ 末尾能被2整除

    • $\frac{10}{2} = 5$

  • 4=$2^2$ 末2位能被4整除

    • $\frac{100}{4} = 25$

  • 8=$2^3$ 末3位能被8整除

    • $\frac{1000}{8} = 125$

  • 3 各位之和数能被3整除的

  • 6 各位数能被3整除的偶数 6=3*2(2是偶数)

  • 9 各位之和数能被9整除的

  • 5 个位数为0或5

  • 10个位数为0

  • 7 去除末位数，在减去末位数的2倍依然能被7整除

例子

  1. 7的推导
    $
    \begin{split}
    &=\underline{abc} \\
    &=\overline{ab}-2c = 7k \\
    &=10a+b-2c = 7k \\
    &=10a+b = 2c+7k \\
    &=100a+10b = 20c+70k \\
    &=100a+10b+c = 21c+70k \\
    &= \overline{abc} \\
    &= 7(3c+10k) \\
    \end{split}
    $

  2. 1989能否被3整除，体会思路
    $\begin{split}
    &=1*999+1+9*99+9+8*9+8+9 \\
    &=1*999+9*99+8*9+1+9+8+9 \\
    &=1*999+9*99+8*9+27 \\
    & 999 、99、 9、 27 都可以被三整除,所以1989可以被三整除
    \end{split}$

分式技巧

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A*D}{B*D}:\frac{C*B}{D*B} = AD:BC $

例子

$ \frac{20}{9}:\frac{5}{2} = 20*2<9*5 \Rightarrow \frac{20}{9} < \frac{5}{2} $
$ \frac{495}{199}:\frac{5}{2} = 495*2<5*199 \Rightarrow \frac{495}{199}<\frac{5}{2} $

求正公约数

$m = a^x*b^y*c^z$

  • x,y,z为正数
  • a,b,c为质数

结论：m有(x+1)(y+1)(z+1)个正约数

例子

  1. 360
    $\begin{split}
    &=36*10 \\
    &=2^2*3^2*2*5 \\
    &=2^3*3^2*5 \\
    &=(3+1)(2+1)(1+1) \\
    &=4*3*2 \\
    &=24个正约数
    \end{split}
    $

  2. 2000
    $\begin{split}
    &=2*10*10*10\\
    &=2^4*5^3 \\
    &=(4+1)(3+1)\\
    &=5*4\ \\
    &=20个正约数
    \end{split}
    $

指数(次方)

说明 公式 公式变形
$+\Rightarrow\times$ $a^{m+n}$ $a^m \times a^n$
$-\Rightarrow\div$ $a^{m-n}$ $a^m \div a^n$
$\times \Rightarrow\ ^2$ $a^{mn}$ $(a^m)^n$
$\div \Rightarrow\ \sqrt{根号} $ $a^{\frac{m}{n}}$ $ \sqrt[n]{a^m}$

例子

$a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0=1 $
$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
$8^{-\frac{2}{3}}= \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $
$\sqrt[2]{64} = \sqrt{64} = 8 $

对数

反求次数(指数)的运算

$e\approx2.718$

$\log_e x = \ln x $

$\log_{10^x} = \lg^x $

$\log_{a}^{1} = 0 $

$\log_{10}^{100} = \lg100 = 2$

$\log_a m + \log_a n = \log_a {m\times n} => 例子: \log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 32$

其它推导

$ \log_a b^n = n \log_a b $

$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a} $

$ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} $

$ \log_{a^n} b = \frac{\log_a b}{n} $

$ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $

不定式

不定式

  1. $如果x>y,而e为任意实数或者整数，那么x+e>y+e$
  2. $如果x>y,e>0,那么xe>ye，如果x>y，e<0,那么xe<ye$
  3. $如果x>y>0,那么0<\frac{1}{x}<\frac{1}{y},如果0>x>y,那么\frac{1}{x}<\frac{1}{y}<0,如果x>0>y,那么\frac{1}{x}>0>\frac{1}{y}$
  4. $如果x \geq y, y\geq e ,那么 x \geq e$
  5. $如果x>y,m>n,那么x+m>y+n$
  6. $如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn$

例子

$\begin{split}
&\frac{c}{a+b}<\frac{a}{b+c}<\frac{b}{c+a}\\
\\
&1)0<c<a<b\\
&2)0<a<b<c\\
\\
解：&\Rightarrow\ \frac{a+b}{c}<\frac{b+c}{a}<\frac{c+a}{b} ③\\
&\Rightarrow\ \frac{a+b}{c}+1<\frac{b+c}{a}+1<\frac{c+a}{b}+1 ①\\
&\Rightarrow\ \frac{a+b+c}{c}<\frac{a+b+c}{a}<\frac{a+b+c}{b} \\
&\Rightarrow\ \frac{1}{c}<\frac{1}{a}<\frac{1}{b} ②\\
&\Rightarrow\ c<a<b ③\\
\end{split}
$

数轴穿根法

值=> 大于取两边，小于取中间

  1. $规范化，将每个因式数高次变为正常 ()^2 ,>0城成立，等价变换=>去掉$
  2. $将根从小到大排列，从右上方开始，遇根穿一次$
  3. $>0取上方，<0取下方$

三角不定式

$\begin{split}
&\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}(两边之和大于第三边) \\
& |x|+|y| \geq |x+y| 恒成立\\
& |x|+|y| = |x+y| xy \geq 0\\
& |x|+|y| > |x+y| xy<0\\
\end{split}
$

不等式

恒成立

  1. $(a\pm b)^2\geq0 恒成立 $
  2. $|x|\geq0 恒成立，|-x|\geq0 恒成立$
  3. 三角不等式$|x|+|y|\geq|x+y|$
  4. 基本不等式$4ab\leq(a+b)^2\leq2(a^2+b^2)$
  5. 均值不等式$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$

例子

$\begin{split}
&求|x-2|+|4-x|的最小值\\
&\Rightarrow|x-2|+|4-x|\geq |x-2+4-x| \geq 2(最小值)\\
\end{split}
$

数列

等差数列

三步走

  1. 中值=均值 公式2，,9，,10
    (两个条件)化简多个a为一个a$\begin{cases}
    b = \frac{a+c}{2}\\
    a_{\frac{n+m}{2}} = \frac{a_n+a_m}{2}\\
    a_{\frac{1+n}{2}} = \frac{S_n}{n}
    \end{cases} $
    (一个条件)=> 特值
  2. 有两个a,求$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$ 公式7
  3. $a_n = a_m + (n-m)d $ 公式4 盖烂尾楼

基本公式

  • 公式1 $a_n - a_{n-1} = d(n\geq 2) $等差数列的判定法则1
  • 公式2 $ a,b,c成等差数列 ↔️ b = \frac{a+c}{2}$
  • 公式3 $a_n = a_1+(n-1)d $
    • 公式5 $a_n = d·n + (a_1-d) = k·n + b $等差数列的判定法则2
    • 公式6 $n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1 $ 计算项数
  • 公式4 $a_n = a_m + (n-m)d $ 盖烂尾楼
    • 公式8 $a_n+a_m = a_x+a_y
      \begin{cases}
      项数相同\\
      n+m = x+y
      \end{cases} $ 中值即均值
    • 公式9 $a_{\frac{n+m}{2}} = \frac{a_n+a_m}{2} $
    • 公式10 $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} = na_{\frac{1+n}{2}} ↔️ a_{\frac{1+n}{2}} = \frac{S_n}{n}$中值等于均值
    • 公式11 $S_n = \frac{d}{2}·n^2 + (a_1-\frac{d}{2})n + 0 = An^2+Bn+0 $ 等差数列的判定法则3
      • $当n = \frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}时，S_n有最值$
  • 公式7 $d = \frac{a_n-a_m}{n-m} = \frac{高度差}{层差} $ 2个a求公差 计算公差

分类

  1. 递推公式(定性)
    • 公式1 $a_n - a_{n-1} = d(n\geq 2) $等差数列的判定法则1
    • 公式2 $ a,b,c成等差数列 ↔️ b = \frac{a+c}{2}$
    • 公式5 $a_n = d·n + (a_1-d) = k·n + b $等差数列的判定法则2
    • 公式11 $S_n = \frac{d}{2}·n^2 + (a_1-\frac{d}{2})n + 0 = An^2+Bn+0$ 等差数列的判定法则3
      • $当n = \frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}时，S_n有最值$
  2. 计算公式(定量)
    • 公式7 $d = \frac{a_n-a_m}{n-m} = \frac{高度差}{层差} $ 计算公差
    • 公式4 $a_n = a_m + (n-m)d ,a_m{d \choose ->}a_n $ 盖烂尾楼
    • 公式9 $a_{\frac{n+m}{2}} = \frac{a_n+a_m}{2} $ 化简
    • 公式10 $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} = na_{\frac{1+n}{2}} ↔️ a_{\frac{1+n}{2}} = \frac{S_n}{n}$中值等于均值
  3. 其它
    • 公式3 $a_n = a_1+(n-1)d $
    • 公式6 $n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1 $ 计算项数
    • 公式8 $a_n+a_m = a_x+a_y $ 中值即均值

等比数列

基本公式

  • 公式12 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = q(n\geq 2)\Rightarrow
    \begin{cases}
    a_n\not=0\\
    q\not=0
    \end{cases}$ 等比数列的判定法则1
  • 公式13 $ a,b,c成等比数列 ↔️
    \begin{cases}
    a\not=0,b\not=0,c\not=0\\
    b^2 = ac
    \end{cases}$
  • 公式14 $a_n = a_1·q^{n-1}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
  • 公式15 $a_n = a_m·q^{n-m}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
  • 公式16 $a_n = \frac{a_1}{q}·q^n = A·q^n $ 等比数列的判定法则2
  • 公式17 $a_n·a_m = a_x·a_y
    \begin{cases}
    项数相同\\
    n+m = x+y
    \end{cases} $
  • 公式18 $等比数列{a_n}中，”同奇偶，同正负” $
  • 公式19 $ S_n =
    \begin{cases}
    a_1\frac{1-q^n}{1-q}, q\not=1 \\
    na_1,q=1\\
    \approx \frac{a_1}{1-q} ,|q|<1
    \end{cases} $等比数列求和公式 列出a1,q,n这三要素
  • 公式20 $S_n = -\frac{a_1}{1-q}q^n + \frac{a_1}{1-q} = Cq^n - C $ 等比数列的判定法则3

分类

  1. 递推公式(定性)
    • 公式12 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = q(n\geq 2)\Rightarrow
      \begin{cases}
      a_n\not=0\\
      q\not=0
      \end{cases}$ 等比数列的判定法则1
    • 公式16 $a_n = \frac{a_1}{q}·q^n = A·q^n $ 等比数列的判定法则2
    • 公式20 $S_n = -\frac{a_1}{1-q}q^n + \frac{a_1}{1-q} = Cq^n - C $ 等比数列的判定法则3
  2. 计算公式(定量)
    a三要素<1,q,n>
    • 公式14 $a_n = a_1·q^{n-1}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
    • 公式15 $a_n = a_m·q^{n-m}$ 等比数列通项公式 列出a1,q,n这三要素
    • 公式19 $ S_n =
      \begin{cases}
      a_1\frac{1-q^n}{1-q}, q\not=1 \\
      na_1,q=1\\
      \approx \frac{a_1}{1-q} ,|q|<1
      \end{cases} $等比数列求和公式 列出a1,q,n这三要素
  3. 其它

既是等差数列又是等比数列

  • 公式21 既是等差数列又是等比数列即非零常数列

既非等差数列又非等比数列

  • 公式22 $a_n =
    \begin{cases}
    S_n - S_{n-1}, n\geq 2 \\
    S_1,n=1\\
    \end{cases}$

    • $已知S_n求a_n,适用于所有数列$

  • 公式23 $\frac{1}{n·(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 列项公式

解析几何

常用勾股数

$\begin{split}
&3,4,5 \\
&5,12,13 \\
&7,24,25 \\
&1,1,\sqrt{2} \\
&1,\sqrt{3},2 \\
&1,2,\sqrt{5} \\
\end{split}
$

三角形

$\begin{split}
&若短边为1 \Rightarrow 短：长：斜 = 1:\sqrt{3}:2 \\
&若短边为a \Rightarrow 短：长：斜 = 1a:\sqrt{3}a:2a \\
&若长边为a \Rightarrow 短：长：斜 = \frac{a}{\sqrt{3}}:a:\frac{2a}{\sqrt{3}} \\
&若斜边为a \Rightarrow 短：长：斜 = \frac{a}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}a:a \\
&45^\circ \Longleftrightarrow \sqrt{2} \\
&30^\circ \Longleftrightarrow \frac{1}{2} \\
&60^\circ \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&\\
&120^\circ等腰三角形三边比例 1:1:\sqrt{3} \\
&90^\circ等腰三角形三边比例 1:1:\sqrt{2} \\
&60^\circ等腰三角形三边比例 1:1:1 \\
&S120^\circ等腰三角形 = \frac{\sqrt{3}}{4}(腰)^2 \\
\end{split}
$

中线定理(阿波罗尼斯定理)

$△ACB,D为CB中点=>2AD^2+\frac{BC^2}{2} = AC^2+AB^2$

正弦、余弦、正切

  1. 正弦（Sine）： 对于一个角为 (A) 的直角三角形，正弦 $ \sin(A) $ 定义为三角形中的对边与斜边（即斜边是直角三角形的斜边）之比。数学表达式为：
    $ \sin(A) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
  2. 余弦（Cosine）： 对于一个角为 (A) 的直角三角形，余弦 $ \cos(A) $ 定义为三角形中的邻边与斜边之比。数学表达式为：
    $ \cos(A) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$
  3. 正切（Tangent）： 对于一个角为 (A) 的直角三角形，正切 $ \tan(A) $ 定义为三角形中的对边与邻边之比。数学表达式为：
    $ \tan(A) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

$\begin{split}
&正弦：sinA = \frac{正对边}{斜边} = \frac{a}{c} \\
&余弦：cosA = \frac{余下的边(邻边)}{斜边} = \frac{b}{c} \\
&正切：tanA = \frac{正对的边}{邻边} = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{sinA}{cosA} \\
&\\
\end{split}
$

角度 sin cos tan
$0^\circ$ $0 = \frac{\sqrt{0}}{2}$ $1= \frac{\sqrt{4}}{2}$ 0
$30^\circ$ $ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{1}}{2}$ $ \frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $1$
$60^\circ$ $ \frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \frac{1}{2} =\frac{\sqrt{1}}{2}$ $ \sqrt{3}$
$90^\circ$ $1 = \frac{\sqrt{4}}{2}$ $ 0 = \frac{\sqrt{0}}{2}$ 无

$\begin{split}
&sinB = \frac{AD}{AB} => AD = AB*sinB \\
&S = \frac{1}{2}*BC*AD \\
& = \frac{1}{2}*BC*AB*sinB(\frac{1}{2}两边一夹角) \\
& = \frac{1}{2}*c(周长)*r(半径) - (内切圆公式)\\
\end{split}
$

面积比=相似比的²

$\begin{split}
& \frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{CA}{C’A’} =\frac{BD}{B’D’} = k \\
& \frac{S△ABC}{S△A’B’C’} = \frac{\frac{1}{2}·AB·CA·sinA}{\frac{1}{2}·A’B’·C’A’·sinA } 约分完成后 = k^2
\end{split}
$

圆、角度、斜率

$若半径 = 1， 2π·1=360^\circ => π=180^\circ$

$\begin{split}
& a^2+b^2 = c^2直角 \\
& a^2+b^2 > c^2锐角 \\
& a^2+b^2 < c^2钝角 \\
& 斜率规律\\
& 斜率k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{y_差}{x_差} \\
& 斜率k > 0,x往右，y轴上升 \\
& 斜率k = 0,平行于x轴 \\
& 斜率k > 0,x往右,y轴下降 \\
& 常用角度斜率，及互补斜率\\
& 30^\circ,k = \frac{1}{\sqrt{3}}, 150^\circ,k = -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
& 45^\circ,k = 1, 135^\circ,k = -1 \\
& 60^\circ,k = \sqrt{3}, 120^\circ,k = -\sqrt{3} \\
& \\
& 结论两个：\\
& ①两角互补，斜率相反 \\
& ②两直线垂直，K_1·K_2 = -1 \\
\end{split}
$

圆标准方程

$\begin{split}
& (x-a)^2+(y+b)^2 = r^2 =>(a,b),r\\
&\\
&圆：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\\
&=> x^2+Dx+(\frac{D}{2})^2+y^2+Ey+(\frac{E}{2})^2 = (\frac{D}{2})^2+(\frac{E}{2})^2-F\\
&=> (x+\frac{D}{2})^2+(y+\frac{E}{2})^2 = (\sqrt{ (\frac{D}{2})^2+(\frac{E}{2})^2-F})^2\\
\end{split}
$
重要结论：

  1. ⭐️圆心坐标平方和减去左边的常数，在开根号=半径
  2. $圆心坐标 = 负一半(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}),半径 r =\sqrt{ (-\frac{D}{2})^2+(-\frac{E}{2})^2-F}$

例子

$x^2+y^2-6x+8y+21=0$
坐标：负一半(3,-4)
半径：$\sqrt{3^2+(-4)^2-21} = 2 = r $

常用公式

基本公式

  1. 点斜式：
    • 表达形式：$y - y_1 = k(x - x_1)$
    • 其中 $(x_1, y_1) 是直线上的一点，k 是直线的斜率$。
  2. 斜截式：
    • 表达形式：$y = kx + b$
    • 其中 k 是直线的斜率，(b) 是直线与y轴的截距。
  3. 两点式：
    • 表达形式：$\frac{y-y_1}{x-x_1}= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
    • 其中 $(x_1, y_1) 和 (x_2, y_2)$ 是直线上的两点。
  4. 截距式：
    • 表达形式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
    • 其中 (a) 和 (b) 是x轴和y轴上的截距。
  5. 一般式：
    • 表达形式：$Ax + By + C = 0$
    • 其中 (A)、(B) 和 (C) 是常数，且 (A) 和 (B) 不同时为零。

两个点，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

  1. 两点间距离公式：$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
  2. 中点距离公式：$m(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
  3. 斜率公式：$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  4. 圆的一般方程式：
    $\begin{split}
    & (x-a)^2+(y+b)^2 = r^2 =>(a,b),r\\
    &\\
    &x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 若F=0,即x^2+y^2+Dx+Ey=0,此圆必过坐标原点(0,0)\\
    &圆心坐标 = 负一半(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}),半径 r =\sqrt{ (-\frac{D}{2})^2+(-\frac{E}{2})^2-F} 圆心坐标的勾股数\\
    \end{split}
    $
  5. 点到直线距离公式：
    $\begin{split}
    & 点A(x_0,y_0)\\
    & 直线方程式：Ax+By+C=0\\
    &\\
    &点到直线距离d = \frac{点A带入直线方程式|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2(x的方向系数)+B^2(y的方向系数)}}\\
    & = \frac{带入的绝对值}{方向系数的勾股数}
    \end{split}
    $

排列组合

组合(先选后排)

  1. 或 ，+ ， 分类
  2. 且 ，x ， 分布
  3. 概率 ， ÷
  • 排列
    • $A_n^m,A=Arrangement$
      1. 从哪个不同的元素中
      2. 任选m个
      3. m个有顺序
  • 组合
    • $C_n^m,C=Combination$
      1. 从哪个不同的元素中
      2. 任选m个
      3. m个无顺序
  • 概率(大概的比率)=$\frac{指定事件数}{全部的事件数}$

背

$C_n^2 = \frac{n*(n-1)}{2*1} = \frac{n*(n-1)}{2} => C_n^{\frac{n}{2}}处有最大值$
$常用C,C_6^3=20,C_7^3=35,C_8^3=56,C_9^3=84,C_{10}^3=120$

概率

$任意，行，不行$

$C_n^k(p)^k(1-p)^{n-k}$

$任选一组C_n^k，行的概率(p)^k，不行的概率(1-p)^{n-k}$

穷举

穷举 => 消元 => 实践(和，+，-，x, ÷)

例子1

A，B，C坐了三个位子，$A_3^3=6$

A BC
CB
B AC
CA
C AB
BA

解题

求弦长

$弦长l = 2 \times \sqrt{r^2 - d^2}$

直线与圆的位置关系问题

  1. 写出直线和圆的方程：
    • 将直线的方程和圆的方程写出。直线的一般方程为 $Ax + By + C = 0$ 或者 $y = mx + b$，圆的一般方程为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$。
  2. 将直线方程代入圆的方程：
    • 将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于 (x) 和 (y) 的方程。这样可以找到直线与圆的交点。
  3. 解方程求交点：
    • 解上一步得到的方程，找到交点的坐标。如果有两个实数解，那么直线与圆相交；如果有一个实数解，那么直线与圆相切；如果没有实数解，那么直线与圆相离。
  4. 判断相切的情况：
    • 如果直线与圆相切，可以通过判别式来判断切点的情况。判别式为 $B^2 - 4AC$，其中直线方程为 $Ax + By + C = 0$。如果判别式为零，说明直线与圆相切，并且切点是唯一的；如果判别式大于零，说明有两个切点；如果判别式小于零，说明直线与圆没有交点。
  5. 考虑直线的位置：
    • 如果直线与圆相交，进一步考虑直线是否穿过圆的内部。可以通过圆心和直线的距离来判断。如果圆心到直线的距离小于半径，说明直线穿过圆的内部；如果距离等于半径，说明直线恰好与圆相切；如果距离大于半径，说明直线与圆没有交点。

过点(-1,3)的一般式

通过点 (-1, 3) 的直线的一般形式可以通过以下步骤确定：

  1. 设直线方程为 (Ax + By + C = 0)。
  2. 代入给定的点 (-1, 3)。
    • 将 (x = -1) 和 (y = 3) 代入方程中，得到一个包含 (A), (B), (C) 的方程。
  3. 整理方程，使其成为一般形式。
    • 将方程整理为 (Ax + By + C = 0) 的形式。

具体步骤如下：

  1. 设直线方程为 (Ax + By + C = 0)。
  2. 代入 (-1, 3) 得到 (A(-1) + B(3) + C = 0)。
  3. 简化得到 (-A + 3B + C = 0)。
  4. 可以取 (A = 3), (B = 1)，那么 (C = 3)。
  5. 最终的一般形式为 (3x + y - 3 = 0)。

因此，通过点 (-1, 3) 的直线的一般形式是 3x + y - 3 = 0。

圆心(3,2)经过的一般式 带斜率k

如果你想找到通过圆心 (3, 2) 的直线的一般方程，并且希望这条直线的斜率为 k，那么可以使用点斜式来表示这条直线。
点斜式的一般形式是： $y - y_1 = k(x - x_1) $
其中 $(x_1, y_1)$ 是直线上的一个点，k是斜率。
在这种情况下，$(x_1, y_1) = (3, 2)$（圆心的坐标），k 是给定的斜率。
将这些值代入点斜式，可以得到通过圆心 (3, 2)，斜率为 k 的直线的一般方程。这个方程将带有未知数 k。
$y - 2 = k(x - 3)$
这是一个表示通过圆心的直线的一般方程，其中斜率为 k。

圆心(3,2)经过的直线

如果你想找到通过圆心 (3, 2) 的直线，但没有明确指定斜率 k，那么我们可以找到一般形式的方程。
过圆心的直线可以表示为： $y - y_1 = k(x - x_1) $
其中 $(x_1, y_1)$ 是圆心的坐标，k 是直线的斜率。
在这种情况下， $(x_1, y_1) = (3, 2) $，而斜率 k 可以是任何实数。
所以，通过圆心的直线的一般方程为： $y - 2 = k(x - 3) $
这是过圆心 ((3, 2)) 的直线的一般形式。如果你有特定的斜率 k，你可以将其代入这个方程，得到具体的直线方程。

知道三角形2边及夹角 如何求面积

三角形的面积可以通过以下公式计算，给定三角形的两边 (a) 和 (b) 以及它们夹角的正弦值 (sin(C))（或者给定三角形的两边 (a) 和 (b) 以及它们夹角的余弦值 (cos(C))）：

  1. 使用正弦值 (sin(C)) 的情况：

$ A = \frac{1}{2} \times a \times b \times sin(C) $

  1. 使用余弦值 (cos(C)) 的情况：

$ A = \frac{1}{2} \times a \times b \times cos(C) $

其中：

  • (A) 是三角形的面积，
  • (a) 和 (b) 是三角形的两边，
  • (C) 是这两条边之间的夹角。

选择使用正弦值还是余弦值取决于你知道的信息。
如果已知夹角的正弦值，可以使用第一个公式；
如果已知夹角的余弦值，可以使用第二个公式。

调和平均数 几何平均数 算数平均数 平方平均值 及关系

调和平均数（Harmonic Mean）、几何平均数（Geometric Mean）、算数平均数（Arithmetic Mean）、平方平均值（Root Mean Square）是常见的数学概念，它们在统计学和数学中有着不同的应用。

  1. 调和平均数（Harmonic Mean）：
    • 对于两个正数 a 和 b，它们的调和平均数为 $\frac{2ab}{a+b}$。
    • 对于 n 个正数 (x_1, x_2, …, x_n)，它们的调和平均数为 $\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + … + \frac{1}{x_n}}$。
  2. 几何平均数（Geometric Mean）：
    • 对于两个正数 a 和 b，它们的几何平均数为 $\sqrt{ab}$。
    • 对于 n 个正数 (x_1, x_2, …, x_n)，它们的几何平均数为 $\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n}$。
  3. 算数平均数（Arithmetic Mean）：
    • 对于两个数 a 和 b，它们的算数平均数为 $\frac{a+b}{2}$。
    • 对于 n 个数 (x_1, x_2, …, x_n)，它们的算数平均数为 $\frac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n}$。
  4. 平方平均值（Root Mean Square）：
    • 对于两个数 a 和 b，它们的平方平均值为 $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$。
    • 对于 n 个数 (x_1, x_2, …, x_n)，它们的平方平均值为 $\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2}{n}}$。

关系：

  • 对于任意一组非负数，调和平均数永远小于等于几何平均数，几何平均数又小于等于算数平均数，算数平均数又小于等于平方平均值。
  • 当且仅当所有数相等时，这些平均数才相等。

$ \text{调和平均数} \leq \text{几何平均数} \leq \text{算数平均数} \leq \text{平方平均值} $
$ \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + … + \frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + … + x_n}{n} \leq \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2}{n}} $

如何判断一元二次不等式 在直线上方 还是下方

要判断一元二次不等式 $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ 的图像在直线 $y = mx + d$ 的上方还是下方，可以考虑以下步骤：

  1. 将不等式 $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ 转换为标准形式 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$。这样，我们关心的是函数值为正还是负。
  2. 将不等式 $ax^2 + bx + c$ 转换为函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$。这是一个关于 (x) 的二次函数。
  3. 找到直线 $y = mx + d$ 的方程。这里的 m 是直线的斜率，而 d是截距。
  4. 计算函数 $f(x)$ 与直线 $y = mx + d$ 的交点，即解方程 $f(x) = mx + d$。
  5. 分析交点的位置。如果 f(x) 在交点处的函数值 f(x) 大于直线的 y值，则图像在直线上方；如果 f(x) 小于直线的 y值，则图像在直线下方。

这种方法基于函数的值的正负，可以帮助你判断一元二次不等式的图像在直线上方还是下方。

判断在$x - 4y \leq -3$上方 还是下方

要判断不等式 $x - 4y \leq -3$ 的图像在直线 $x - 4y = -3$ 上方还是下方，可以考虑以下步骤：

  1. 将不等式 $x - 4y \leq -3$ 转换为标准形式 $ax + by \leq c$。在这里，(a = 1)，(b = -4)，(c = -3)。
  2. 找到直线 $x - 4y = -3$ 的斜率截距形式。将它写成 $y = mx + d$ 的形式，其中 (m) 是斜率，(d) 是 (y)-轴截距。
    将$x - 4y = -3$ 转换为 (y) 的形式：$x - 4y = -3 \implies 4y = x + 3 \implies y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$
    这里的斜率 (m) 是 $\frac{1}{4}，而 (y)-轴截距 (d) 是 \frac{3}{4}$。
  3. 比较不等式中的斜率 (m) 与直线的斜率 $\frac{1}{4}$。
    • 如果 $m > \frac{1}{4}$，则不等式图像在直线上方。
    • 如果 $m < \frac{1}{4}$，则不等式图像在直线下方。

在这种情况下，由于不等式 $x - 4y \leq -3$ 的斜率 (m) 是正的，而直线 $x - 4y = -3$ 的斜率 $\frac{1}{4}$ 也是正的，因此不等式的图像在直线上方。

ax+by+c<0 如何根据b 判断在直线上方 还是下方

在不等式 (ax + by + c < 0) 中，(b) 的系数决定了直线的方向。具体来说：

  1. 如果 (b > 0)，则直线向上倾斜。在平面坐标系中，这意味着直线在 (y)-轴正方向上方。
  2. 如果 (b < 0)，则直线向下倾斜。在平面坐标系中，这意味着直线在 (y)-轴正方向下方。

这可以通过考虑不等式的标准形式 (ax + by + c < 0) 来理解。当 (b > 0) 时，(by) 的正负性与 (y) 方向一致，因此直线在 (y)-轴正方向上方。当 (b < 0) 时，(by) 的正负性与 (y) 方向相反，因此直线在 (y)-轴正方向下方。

请注意，这里的判断是基于 (b) 的符号。如果 (b = 0)，则不等式中就没有与 (y) 有关的项，因此不等式表示的是一条垂直于 (y)-轴的直线，而不涉及上方或下方的概念。