⭐️为必考公式

实数(整数)

数的整除

解题信号

除、余数

解题思路

被除数 = 除数x商+余数
余数<除数，除数>0，余数=0==>整除
被除数、除数、商、余数均为整数

-8➗5的余数为(-5x2)+2,余数为(2)

奇数、偶数 ⭐️

解题信号

奇数、偶数、能被2整除、不能被2整除

解题思路

两数之和为奇数，必定为一奇一偶。
两数之和为偶数，必定为同奇同偶。
多数之积为奇数，必全为奇数。
多数之积为偶数，至少有一个偶数。
a+b、a-b同奇同偶。
相邻两数必定一奇一偶

质数 ⭐️

解题信号

质数、素数

不可分割

解题思路
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61…
质因数分解
每个合数都可以写成几个质数(素数)相乘的形式，这几个质数就都叫作这个合数的质因数。

合数 ⭐️

解题信号

需要将一个整数分解为多个整数的乘积。

解题思路

通过质因数分解，将合数分解为多个质数的乘积。
4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,19…
正约数的个数
将所给的数质因数分解为M=$a^x·b^y·c^z$(a，b，c均为质数，z，y，之均为正整数)，则M的正约数个数为(x+1)(y+1)(z+1)个。 ⭐️

绝对值(符号)

去绝对值符号

解题信号

|x-m|

解题思路
1. 按照临界点，分类去符号
2. 有平方，$|x|^2= x^2 $
3. 对称性，可令a>=b

应用题(关系)

比与比例 ⭐️

解题信号

比()，占()，是()，为()，()的

解题思路

逐句炼化，逢比设k，注意变化，建立等式；
甲：乙 = a:b，可设甲=ak,乙=bk,化相对量为绝对值；
B比A增长p% <=>B是A的(1+p%)倍 ⭐️
B比A减少p% <=>B是A的(1-p%)倍

条件中全是比例

盈亏问题 ⭐️

解题信号

： 成本(进价)，售价，利润，利润率 ⭐️

解题思路

利润 = 售价-成本；
利润率 = 利润/成本；
按资金流水列出：成本标价利润利润率；
利润率为p% <=>售价是成本的(1+p%)倍； ⭐️
亏损p%<=>利润率为-p%<=>售价是成本的(1-p%)倍

路程守恒

解题信号

距离

解题思路

不做图，就作死
建立关于路程的等量关系

️环形跑道问题

解题信号

环形跑道、相同、相反

解题思路
1. `同向`竞争，速度`相减`，$(v_1-v_2)t = nS$
2. `反向`竞争，速度`相加`，$(v_1+v_2)t = nS$
n:相遇次数；
S:跑道一圈的长度；
v1:甲的速度；
v2:乙的速度；
t:相遇的时间；

️直线反复相遇问题

解题信号

第n次相遇

解题思路
①两端出发，n次迎面相遇，两人所走过的路程和为(2n—1)S=(V甲+V乙)t。 ⭐️
②两端出发，n次追及相遇，两人所走过的路程差为(2n-1)S=(V甲-V乙)t。
③一端出发，n次迎面相遇，两人所走过的路程和为 2nS=(V甲+V乙)t。
④一端出发，n次追及相遇，两人所走过的路程差为 2nS=(V甲-V乙)t。

时间守恒 ⭐️

解题信号

约好同时出发，同时结束，但是有人迟到、旷课、早退，或因速度变化而导致时间不守恒；

解题思路

两方案的时间差 $\Delta_t$;
第一个方案实际发费的时间为$\frac{S_1}{v_1}$
第二个方案实际发费的时间为$\frac{S_2}{v_2}$
$\frac{S_1}{v_1} \pm \frac{S_2}{v_2} = \Delta_t (时间守恒)$

工程问题

解题信号

工程、合作、工作量；

解题思路

总工程量= 1 = 100%；
时间
- 甲单独完成工程需要x天；
- 乙单独完成工程需要y天；
效率
- 甲每天可以完成1/x;
- 乙每天可以完成1/y;

浓度问题

解题信号

浓度，配成，蒸发

解题思路
根据溶质的变化建立等量关系。

溶质 + 溶剂 = 溶液
浓度 = 溶质/溶液 * 100%

溶质变化
解题信号：溶质不变，加水或者蒸发水
解题思路：

变化前溶质；
变化后溶质；
溶质守恒

交叉法 ⭐️

解题信号

已知大因、小因、中果、比例；

解题思路

对应写两边
总的写中间
价差相减成比例

已知大因、小因，比例可求中果
已知大因、小因，中果可求比例

化比例为权重，权重1+权重2=1
中果 = 大因x权重1 + 小因x权重2； (加权平均值)

加权平均值$\frac{权重1}{权重2} = \frac{中果-小因}{大因-中果} 中果 \frac{大因}{小因}$ ⭐️

容斥原理

解题信号

有集合A、集合B、集合C

解题思路

完全分类，补充不漏三证全无、恰有一证、恰有两证、三证齐全
如果涉及最值，结合非负性和极限思维法

整式、分式

完全平方式

解题信号

$(a+b)^2,a^2+b^2,ab$

解题思路

3元素完全平方;
完全立方公式；
圆的方程；
方差；
三角不等式；
轮换相减平方和；
韦达定理；
非负性；
基本不等式；
均值不等式；

三项完全平方公式

解题信号
解题思路

$(a+b+c)^2,a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
若长方体的棱长为a,b,c,则表面积$S_表= 2(ab+bc+ca),对角线d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
有$(a+b+c)^2 =d^2+S_表$

立方公式 ⭐️

解题信号

$a^3+b^3 $

解题思路
基本公式
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

变形1
$a^3+b^3 = (a+b)[(a+b)^2-3ab] 知道a+b,ab即可求出a^3+b^3 $
$a^3-b^3 = (a-b)[(a-b)^2+3ab] 知道a-b,ab即可求出a^3-b^3$
变形2
$当a=b=0时，a^2+b^2-ab=0,当a,b不全为0时，a^2+b^2-ab>0$
$所以a^2+b^2-ab \geq恒成立$
$所以a^3+b^3与a+b同号$ 同号 ⭐️
$所以a^3-b^3与a-b同号$ 同号 ⭐️
变形3
$x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1) =(x+\frac{1}{x})[(x+\frac{1}{x})^2-3] $
$已知x+\frac{1}{x},可求x^3+\frac{1}{x^3}$ ⭐️
变形4
$(a+b)^3 = a^3+2a^2b+2b^2a+b^3$
$即(a+b)^3 = C_3^0·a^3b^0+C_3^1·a^2b^1+C_3^2·a^1b^2+C_3^3·a^0b^3$
$a^3+b^3 =(a+b)^3-3ab(a+b) $

x+1/x ⭐️

解题信号

$x+\frac{1}{x},x^2+\frac{1}{x^2},x^3+\frac{1}{x^3},$

解题思路
1. 范围
- 当x>0时，$x+\frac{1}{x}\in[2,+\infty]$
- 当x<0时，$x+\frac{1}{x}\in(-\infty,-2]$
- $x+\frac{1}{x}\in(-\infty,-2]\cup [2,+\infty]$
- $x+\frac{1}{x}\notin (-2,2);$
2. $x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2-2 = (x-\frac{1}{x})^2+2;$
3. $x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1) =(x+\frac{1}{x})[(x+\frac{1}{x})^2-3] $

因式定理 ⭐️

解题信号

多项式被…整除，含有…因式；

解题思路

被除式 = 除式x商式+余式
令除式=0，将对应的x代入；
$f(x)能被(x-a)整除$ ⭐️ ⭐️ ⭐️
$\iff多项式f(x)含有因式x-a$
$\iff x=a为方程f(x)=0的根$
$\iff不等式f(x)<0的解集的边界$
$\iff x=a为函数y=f(x)的零点$

二次函数 ⭐️

标准式

$f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)$
对称轴$x_0=-\frac{b}{2a}$处，有最值;
当a>0,f(x)有最小值；
当a<0,f(x)有最大值；
如果自变量x是有范围的，要考虑对称轴在不在范围内；

双因式 ⭐️ ️

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+c$
对称轴$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$处有最值；
当a>0,f(x)有最小值；
当a<0,f(x)有最大值；

零点 ⭐️

$f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) 在x轴的两个交点(x_1,0),(x_2,0)$,
也称函数$f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)$ 的两个零点为$(x_1,0),(x_2,0)$;
两零点的距离为$|x_2-x_1|= \frac{\sqrt{△}}{|a|} =\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$ ⭐ ️

函数、不等式、方程、多项式之间的联系

$(x_1,0)为函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$的零点
$\iff x_1为不等式ax^2+bx+c(a≠0)）$的一个边界
$\iff x_1为方程ax^2+bx+c(a≠0)$的根
$\iff (x-x_1)为多项式ax^2+bx+c(a≠0)$的一个因式
$\iff 一多项式ax^2+bx+c(a≠0)能被(x-x_1)$整除

方程(转化)

不定方程

解题信号

不定方程的特征：

所有变量都是整数

未知数的个数>(多于，大于)方程的个数

解题思路
不定方程的求解：
1. 列式子
2. 消元:合并所有的方程为为一个方程，并且未知数的个数尽可能少；
3. 构造除法，用一个未知数表示另一个未知数；
如果是问题求解，`穷举`答案;
如果是条件充分性判断，穷举所有的值；

一元二次方程 ⭐️

解题信号

$ax^2+bx+c=0 (a\neq0)$

解题思路

先因式分解
如果半分钟内因式分解不了，果断采用求根的方式； ⭐️ ⭐️
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
注意整体思维，本质上是换元法；

韦达定理 ⭐️

x1+x2=-a/b,x1x2=c/a

$|x_2-x_1|= \frac{\sqrt{△}}{|a|} =\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$ ⭐ ️

实根的判别式

解题信号

$ax^2+bx+c=0 (a\neq0)$ 有两相异实根，有两相等实根，无实根，有实根；

$ax^2+bx+c=0 (a\neq0)$ 是完全平方式，不可因式分解；

$y=ax^2+bx+c (a\neq0)$ 与x轴相切、相交、相离

解题思路
1. 是标准形式$ax^2+bx+c=0$么？
2. 有明确是一元二次么？$(a\neq0)$
3. 有明确两根不相等么？

数列

等差数列的判定法则1 ⭐️

解题信号

$a_n=kn+b$ ⭐️

解题思路
等差数列的通项公式$a_n$:
1. $a_n = d·n + (a_1-d) = k·n + b $
2. $a_n$是以n为变量的一次函数
3. $a_n$是以公差d为斜率的一条直线

等差数列的判定法则2 ⭐️

解题信号

$ An^2+Bn+0 $ ⭐️

解题思路

c=0,a≠0，常数项为0的二次函数；
已知$S_n,求a_n$
$S_n = \frac{d}{2}·n^2 + (a_1-\frac{d}{2})n + 0 $
$a_n = d·n + (a_1-d) $
$d = 2·\frac{d}{2},(a_1-d)=(a_1-\frac{d}{2}) - \frac{d}{2}$

等差数列的应用

解题信号

成等差，是等差？

解题思路

找出给的量、要求的量
求出首项a1,公差d
a,b,c成等差数列

b+d = a+c
a=a
b=a+d
c=a+2d

等比梳理的判定法则 ⭐️

解题信号

$a_n = \frac{a_1}{q}·(q)^n = A·q^n $ ⭐️

$S_n = -\frac{a_1}{1-q}q^n + \frac{a_1}{1-q} = Cq^n - C $ ⭐️

解题思路

$(q)^n$ ,n次方下面的一定为q;
将n=1代入$a_n,a_1=\frac{a_1}{q}·(q)^1$
将n=1代入$S_n,S_1=-\frac{a_1}{1-q}(q)^1 + \frac{a_1}{1-q}$

等比数列的应用

解题思路

找出给的量、要求的量
2.求出首项a1,公比q

a,b,c成等比数列
b·b = a·c $(a\neq0,b\neq0,c\neq0,)$
a = a
b = a·q
c = $a·q^2$

构造数列

解题信号

与标准的等差、等比数列只差个常数；

解题思路

两边都配上常数；
构造成新的数列；
利用新数列与旧数列的关系，反求旧数列；

周期数列

解题信号

开局是个啥，结局是个啥

解题思路
1. 利用递推关系，发现周期数
2. 同余、同位、同规律

平面几何

三角形面积公式

$S=\frac{1}{2}底·高$
$S=\frac{1}{2}a·b·sin∠C,其中∠C为边a和边b的夹角，sin90°=1$
$S=\frac{1}{2}C·r，C为三角形的周长，r为内切圆的半径$⭐️

正六边形：由六个等边三角形组成
边长为a，则面积$S=6·\frac{\sqrt{3}}{4}·a^2(腰)$⭐️

非规则三角形

解题信号

非规则三角形求面积；

又找不到相似

解题思路

同底且等高，面积相等；
仅同底，面积之比等于高之比；
仅等高，面积之比等于底之比；

直角三角形

解题信号

直角三角形

解题思路

勾股定理$a^2+b^2=c^2$,三边知二求三

$\begin{split}⭐️
&3,4,5 \\
&5,12,13 \\
&7,24,25 \\
&1,1,\sqrt{2} (等腰直角三角形)\\
&1,\sqrt{3},2 (30° 60° 直角三角形)\\
&1,2,\sqrt{5} \\
\end{split}
$

等腰三角形

解题信号

等腰三角形或a=b

解题思路

顶角的角平分线、底边的中线、底边的高、底边的垂直平分线，四线合一
通过做垂线，将等腰三角形化为直角三角形；
若顶角为120°的等腰三角形，腰身为a,底边为b
⭐️$b=\sqrt{3}·a$
⭐️120°等腰 $a:a:\sqrt{3}a,S=\frac{\sqrt{3}}{4}·a^2(腰) =\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{b}{\sqrt{3}})^2 = \frac{\sqrt{3}}{12}·b^2(底) $

等边三角形

解题信号

a、b、c三边相等，∠A = ∠B = ∠C

解题思路

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}·a^2(腰)$⭐️
外心、内心、重心、垂心、四心合一

中线定理(阿波罗尼斯定理)
$△ACB,D为CB中点=>2AD^2+\frac{BC^2}{2} = AC^2+AB^2$

射影定理
三角形BCA,D是CA上的点， $BA^2 = 1·DA·CA, AB^2 = AD·AC$

相似

解题信号

解题思路

对应角相等，对应边之比为相似比；BC⊥AC
面积比等于相似比的平方
两边对应成比例(SS)<=>两边的比值相等<=>1S1A

全等

解题信号

在相似的基础上还有一对对应边相等；

平移、折叠、旋转

解题思路
两直角三角形全等的判定法则

1S+1A
1S+1S

阴影部分面积

解题信号

阴影部分面积

解题思路

利用对称性，通过割补;
将未知图形转化为已知图形；

对称线

等腰三角形 1条
等边三角形 3条
一般梯形 0条
等腰梯形 1条
平行四边形 0条
菱形 2条
长方形 2条
正方形 2条
正五边形 5条
正n边形 n条

立体几何

正方体

解题信号

正方体

解题思路

6个面，表面积$S_表=6a^2$;
8个角；
12条棱，棱长=12a
体积=$V=a^3$
对角线长度$d=\sqrt{3}a$

柱体 ⭐️

解题信号

圆柱体

解题思路

上面，下面，侧面
侧面积$S_侧=2πrh,S_表=2πrh+2πr^2$;
体积$V=πr^2h $
体对角线$d=\sqrt{(2r)^2+h^2}$

球体 ⭐️

解题信号

球体

解题思路

$S_表=4πr^2$
$体积V=\frac{4}{3}πr^3 = \frac{2}{3}πr^22r$;
球体内部最长的线段为直径；
球体中唯一的参数就是半径，即球心到球面的连线。只需要半径就可以S表，体积V都可求。

概率

穷举法 ⭐️

解题信号

答案小于60

限制多，+ - x \ > <等

解题思路

全部列出;
选出指定要求的；

勾叉大法 ⭐️

解题信号

至多，至少，不多于，不少于，多于，少于等不确定情况需要分类；

解题思路

n个元素，从最多的n到最少的0，共有n+1类；
√x大法；
正面容易算正面，反面容易算反面；

分类与分步的综合应用

解题信号

且、或的逻辑

解题思路

分类 + 或一真为真，全假为假 U并集并联电路一通为通，全断为断，不全断为通；
分步 x 且全真为真，一假为假 n交集串联电路全通为通，一断为断

9大模型一一对应

解题信号

一一对应

n个人是不同的，每个人做一个位子；

n个位子是不同的，每个位子坐一个人；(不可重复使用)

人与位子之间一一对应；

解题思路
共有$A_n^n$种不同的分法
$A_3^3:3个元素一一对应$

9大模型错排模型

解题信号

轮岗

A不在A,B不在B,C不在C

解题思路
元素个数：2 3 4 5 … n
错排总数：1 2 9 44 … $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$

9大模型捆绑法

解题信号

相邻、固定间隔若干人

解题思路
攘外必先安内

安内:先将相邻的元素捆绑，看成一个整体;
攘外:再将捆绑后的元素与剩余的元素安装要求排；

9大模型插空法

解题信号

不相邻

解题思路

先将无关人等坐好，产生空隙，任意两个空隙之间至少间隔一个人；
在将人按照要求插入空隙；

9大模型涂色问题 ⭐️

解题信号

每区涂一色，相邻不同色；

解题思路

按接壤区域个数，依序涂色；
环形涂色公式=$(c-1)^s+(-1)^s(c-1)$ ⭐️
c-color 颜色数
s-sector 区域数

9大模型信箱模型

解题信号

不受限制的一多对应

m封信使不同的，每封信投入一个邮箱，全部投完

n个邮箱是不同的
每个邮箱可不受限制的接受多封信；

解题思路
1. 共有$n^m$种分法;$可重复^{不可重复}$
2. 邮箱可以重复使用，n在下
3. 信不可以重复使用，m在上

9大模型分堆模型

解题信号

受限制的一多对应；

m个小球是不同的，每个小球投入一个盒子，全部投完；

n个盒子是不同的，每个盒子受限制的接受多个球；

解题思路

将m个小球按照限制要求分成n堆；
有n个数量的堆，就除以$A_n^n$防止重复；
以堆为单位，看是否可以与盒子一一对应？如果一一对应 x$A_n^n$

9大模型隔板法 `相同小球`

解题信号

n个相同的小球；

投入m个不同的盒子；

盒子不为空；

解题思路

n个相同的小球，产生n-1个空隙；
投入m个不同的盒子，需要n-1块隔板；
盒子不为空，则每个盒子至少增加一个球；有$C_{n-1}^{m-1}种分法$

9大模型伯努利模型 ⭐️

解题信号

独立：本次成功与否，不影响下一次；

重复：以相同的概率做多次；

任意：没有指定哪次必须成功，哪次必须不成功；

解题思路

$C_n^k(p)^k(1-p)^{n-k}$
$C_n^k$:n次中任选k次成功；
$(p)^k$:成功的概率为p,次数为k;
$(1-p)^{n-k}$:不成功的概率为1-p,次数为n-k;

均值、方差 ⭐ ️

方差

解题信号

方差

解题思路

先算平均值$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$
差的方：$(x_1-\bar{x})^2,(x_2-\bar{x})^2,…,(x_n-\bar{x})^2$
再求均值：$s^2 = \frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_n-\bar{x})^2}{n}$⭐ ️
$s^2$:方差
s:标准差 $s=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
x-2,x-1,x,x+1,x+2的方差为2的顺子；
x,x,x,x,x<=>方差为0；
方差越大，波动越大；

拓展

x-2,x-1,x,x+1,x+2=>$s^2$=2;
x,x,x,x,x <=> 方差为0；
$若x_1,x_2,…,x_n的方差为s^2，则kx_1+b,kx_2+b,…,kx_n+b的方差为k^2s^2,标准差为ks$⭐ ️

数形结合

$y = |x-a|+|x-b| (a<b)$`平底锅型` ⭐️

解题信号

$y = |x-a|+|x-b| (a<b)$

解题思路

最大值不存在，当a≤x≤b时，取最小值|b-a|。
图像中间平，两头翘，如图所示。
临界点x0(a,|b-a|),y0(b,|b-a|)

$y = |x-a|-|x-b| (a>b)$`Z型` ⭐️

解题信号

$y = |x-a|-|x-b| (a>b)$

解题思路

当x≥b时，取最大值|b-a|；当x<=a 时，取最小值-|b-a|。
图像中间斜，两边平，如图所示。
临界点(a,-|b-a|),(b,|b-a|)

$|y-x|=b$

解题信号

$|y-x|=b$
<=> y-x=-b 或 y-x=b
<=> y=x-b 或 y=x+b
令b=0 =>k=1
令x=0 =>y=±b

解题思路

|y-x|=b:斜率为1，截距±b的两条平行线；
|y-x|≤b:斜率为1，截距±b的两条平行线内；
|y-x|≥b:斜率为1，截距±b的两条平行线外；

反比例函数

解题信号

$y=\frac{k}{x},xy=k,xy\geq k,xy \leq k$

原函数的图像与反函数的图像关于y=x对称
y=1/x ,y =x => x=1/x => x=±1 =>中心点(1,1)and(-1,-1)

解题思路

$xy=k:中心点(\sqrt{k},\sqrt{k}),(-\sqrt{k},-\sqrt{k})的双曲线$
$xy\geq k:中心点(\sqrt{k},\sqrt{k}),(-\sqrt{k},-\sqrt{k})的双曲线外$
$xy \leq k:中心点(\sqrt{k},\sqrt{k}),(-\sqrt{k},-\sqrt{k})的双曲线内$

二次函数的图像 ⭐️

解题信号

曲线$y=ax^2+bx+c$

解题思路

a>0,开口向上；a<0,开口向下；
c>0,与y轴交点在原点上方;c=0,抛物线过原点；c<0,与y轴交点在原点下方;
-b/2a>0,对称轴在y轴右侧；-b/2a=0,即b=0，对称轴为y轴;-b/2a<0，对称轴在y轴左侧;
△>0,抛物线有2零点;△=0,抛物线与x轴相切;△<0,恒成立;

直线的定量计算⭐ ️

解题信号

求坐标；

解题思路

定性分析：看坐标所在的象限；
代数关系：坐标为对应方程的根；
几何关系：坐标(x,y)中，|x|表示在x轴上投影的距离，|y|表示在y轴上投影的距离；
定量计算：联立求解相交的两个方程；

两个点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$
1. 两点间距离公式：$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
2. 中点距离公式：$m(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
3. 斜率公式：$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
直线
1. $y-b=k(x-a) <=(a,b) k$
2. $y=kx+b <=(0,b) k$
3. $Ax+By+C=0$
$y=k_1x+b_1 与y=k_2x+b_2$
平行: k1=k2 b1≠b2
重合: k1=k2 b1=b2
相交: k1≠k2
垂直: k1·k2=1
$A_1x+B_1y+C_1=0 A_2x+B_2y+C_2=0$
$垂直A_1A_2·B_1B_2=0$

直线的定性分析

解题信号

过象限，不过象限

解题思路
- 必过第1象限：k>0 `或` b>0 ,必不过第1象限：k<=0 `且` b<=0
- 必过第2象限：k<0 `或` b>0 ,必不过第2象限：k>=0 `且` b<=0
- 必过第3象限：k<0 `或` b<0 ,必不过第3象限：k<=0 `且` b>=0
- 必过第4象限：k<0 `或` b<0 ,必不过第4象限：k>=0 `且` b>=0

对称

解题信号
求点P(x0,y0)关于直线l0:Ax+By+C=0的对称点Q(a,b)

解题思路

垂直：线段PQ与直线l0垂直，即(b-y0)(a-x0)=B/A;
平分：P、Q点的中心M((x0+a)/2,(y0+b)/2),在直线l0上，即A(x0+a)/2+B(y0+b)/2+C=0;
联立两方程，求解
(a,b)
- (a,b)关于原点(0,0)对称，(-a,-b)
- (a,b)关于x对称，(a,-b)
- (a,b)关于y对称，(-a,b)
- (a,b)关于y=x对称，(b,a)
- (a,b)关于y=-x对称，(-b,-a)
Ax+By+C=0
- Ax+By+C=0关于原点(0,0)对称，A(-x)+B(-y)+C=0
- Ax+By+C=0关于x对称，Ax+B(-y)+C=0
- Ax+By+C=0关于y对称，A(-x)+By+C=0
- Ax+By+C=0关于y=x对称，Ay+Bx+C=0
- Ax+By+C=0关于y=-x对称，A(-y)+B(-x)+C=0

直线恒过定点 ⭐️

解题信号

直线含参，恒过定点

解题思路

以谁为参数，不论谁怎么变化，就列出以谁为变量的一元一次方程；
构建0·x=0

$ax=b 当a=0,b=0时，0·x=0,对一切x恒成立；$
$(x-x_0)·k=(y-y_0) 不论k取何值，恒过(x0,y0)$

线性规划

解题信号

多个二元一次不等式求最值
至多、至少、不多于、不少于、多于、少于

解题思路

列出约束函数,目标函数;
画出约束区域；
通过比较斜率，确定临界点；
如果临界点为整数，直接带入；
如果临界点不为整数，消元后计算不等式；
ax+by,截距；

直线与圆⭐ ️

解题信号

$直线Ax+By+C=0 与圆(x-a)^2+(y+b)^2 = r^2 $

解题思路
d=r,相切
d<r,相交
d>r,相离

重要结论：

⭐️圆心坐标平方和减去左边的常数，在开根号=半径
$圆心坐标 = 负一半(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}),半径 r =\sqrt{ (-\frac{D}{2})^2+(-\frac{E}{2})^2-F}$

$\begin{split}
& 点A(x_0,y_0)\\
& 直线方程式：Ax+By+C=0\\
&\\
&点到直线距离d = \frac{点A带入直线方程式|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2(x的方向系数)+B^2(y的方向系数)}}\\
& = \frac{带入的绝对值}{方向系数的勾股数}
\end{split}
$

圆与圆的位置关系

解题信号

$圆C_1:(x-x_1)^2+(y-y_1)^2 = r^2 与圆C_2:(x-x_2)^2+(y+y_2)^2 = r^2 $
外离、外切、相交、内切、内含，有交点，相切；

解题思路

动点问题

解题信号

解题思路

列出目标与动点之间的函数；
分析函数的最值；

最值必在临界点处

不等式

不等式基本性质

解题信号

不等式加法缩放传递

解题思路

对称性 $a>b \iff b<a(双向性)$
传递性 $a>b，b>c \implies a>c(单向性)$
可加性 $a+b \iff a+c<b+c(双向性)$
$a>b，c>d \implies a+c>b+d(单向性)$
可乘性 $a>b,c>0 \implies ac>bc;a>b,c<0 \implies ac<bc$
$a>b>0,c>d>0 \implies ac>bd(单向性)$
乘法法则 $a>b>0,a^2>b^2(n\in N,n\geq1)(单向性)$
开方法则 $a>b>0,\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b},(n\in N,n\geq2)(单向性)$
倒数性质 $设ab>0,则a<b \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b} (双向性)$
有关分数的性质 $若a>b>c,m>0$,则
- $\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m} ; \frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}(a-m>0)$
- $\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m} ; \frac{a}{b}<\frac{a-m}{b-m}(b-m>0)$

一元一次不等式

解题信号

不够、不超过、多于、最多、至少

解题思路

根据条件，建立不等关系；
分步，且，交集；
分类，或，并集；

一元一次不等式恒成立

解题信号

均大于，条件充分性判断中的不等关系；

解题思路

通过搭桥完善条件；
通过搭桥实现消元；

反证法：有矛盾用反面

绝对值不等式

解题信号

|x|>m,|x|<m

解题思路

|x|>m,(m>0),x>+m或x<-m; $x^2>m^2\iff x^2-m^2>0 \iff (x+m)(x-m)>0 \iff x<-m或x>m $
|x|<m,(m>0),-m<x<+m;

三角不等式

解题信号

三个绝对值之间的关系；

解题思路
$\begin{split}
&\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}(两边之和大于第三边) \\
& |x|+|y| \geq |x+y|, 恒成立\\
& |x|+|y| = |x+y|, xy \geq 0\\
& |x|+|y| > |x+y|, xy<0\\
& |x|+|y| \geq |x-y|, 恒成立\\
& |x|+|y| = |x-y|, xy \leq 0\\
& |x|+|y| > |x-y|, xy>0\\
\end{split}
$

一元二次不等式

解题信号

$f(x)=ax^2+bx+c>0或f(x)=ax^2+bx+c<0$

解题思路
1. af(x)>0,解集为`两边开`，即x<x1(小根)或x>x2(大根);
2. af(x)<0,解集为`中间缩`，即x1(小根)<x<x2(大根);
3. 已知不等式$ax^2+bx+c>0$解集是(m,n)<=>方程$ax^2+bx+c=0$的根是x1=m,x2=n,`边界为根`；

一元二次恒成立

解题信号

$ax^2+bx+c>0$恒成立、解集为任意实数；

解题思路

$ax^2+bx+c>0$恒成立 a>0成立 △<0恒或a=b=0且c>0
$ax^2+bx+c<0$恒成立 a<0成立 △<0恒或a=b=0且c<0

二次函数的最值 ⭐️

解题信号

二次函数的最大值、最小值；

解题思路
$y=ax^2+bx+c (a>0)$
若x的范围为$x\in(m,n)$,而对称轴在此范围内,则当$x_0=-\frac{b}{2a}$⭐️时，有最小值；
若x的范围为$x\in(m,n)$,而对称轴在此范围内,判断m、n中离对称轴的距离近的那个点有最小值；

基本不等式

解题信号

$x+y,xy,x^2+y^2$ 不等关系或求最值

解题思路
$4xy\leq(x+y)^2\leq2(x^2+y^2)$恒成立
$(x+y)^2 \in [4xy,2(x^2+y^2)]$

可求xy的最大值：$xy\leq\frac{(x+y)^2}{4}.xy\leq\frac{x^2+y^2}{2}$
可求$(x+y)^2的最值：(x+y)^2 \in [4xy,2(x^2+y^2)]$
可求$x^2+y^2的最小值：x^2+y^2\geq\frac{x^2+y^2}{2}.x^2+y^2\geq2xy$

均值不等式 ⭐️

解题信号

已知a+b+c的值，求abc的最大值；
已知abc的值，求a+b+c的最小值；

解题思路
1. 次数不够，个数来`凑`；
2. 系数不够，乘除来`凑`；
`和积之间，定最转换`

`一正二定三相等`
1. `一正`：x>0,y>0
2. `二定`：
求x+y的值，恰xy为定值；
求xy的值，恰x+y为定值；
3. `三相等`：
当x=y时,$\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}$
当x≠y时,$\frac{x+y}{2}>\sqrt{xy}$

⭐️为必考公式

实数(整数)

数的整除

奇数、偶数 ⭐️

质数 ⭐️

合数 ⭐️

绝对值(符号)

去绝对值符号

解题思路1. 按照临界点，分类去符号2. 有平方，$|x|^2= x^2 $3. 对称性，可令a>=b

应用题(关系)

比与比例 ⭐️

条件中全是比例

盈亏问题 ⭐️

路程守恒

️环形跑道问题

解题思路1. 同向竞争，速度相减，$(v_1-v_2)t = nS$2. 反向竞争，速度相加，$(v_1+v_2)t = nS$ n:相遇次数； S:跑道一圈的长度； v1:甲的速度； v2:乙的速度； t:相遇的时间；

️直线反复相遇问题

时间守恒 ⭐️

工程问题

浓度问题

交叉法 ⭐️

容斥原理

整式、分式

完全平方式

三项完全平方公式

立方公式 ⭐️

x+1/x ⭐️

因式定理 ⭐️

二次函数 ⭐️

标准式

双因式 ⭐️ ️

零点 ⭐️

函数、不等式、方程、多项式之间的联系

方程(转化)

不定方程

解题思路不定方程的求解：1. 列式子2. 消元:合并所有的方程为为一个方程，并且未知数的个数尽可能少；3. 构造除法，用一个未知数表示另一个未知数； 如果是问题求解，穷举答案; 如果是条件充分性判断，穷举所有的值；

一元二次方程 ⭐️

韦达定理 ⭐️

实根的判别式

解题思路1. 是标准形式$ax^2+bx+c=0$么？2. 有明确是一元二次么？$(a\neq0)$3. 有明确两根不相等么？

数列

等差数列的判定法则1 ⭐️

解题思路等差数列的通项公式$a_n$:1. $a_n = d·n + (a_1-d) = k·n + b $2. $a_n$是以n为变量的一次函数3. $a_n$是以公差d为斜率的一条直线

等差数列的判定法则2 ⭐️

等差数列的应用

b+d = a+ca=ab=a+dc=a+2d

等比梳理的判定法则 ⭐️

等比数列的应用

构造数列

周期数列

解题思路1. 利用递推关系，发现周期数2. 同余、同位、同规律

平面几何

三角形面积公式

非规则三角形

直角三角形

$\begin{split}⭐️&3,4,5 \\&5,12,13 \\&7,24,25 \\&1,1,\sqrt{2} (等腰直角三角形)\\&1,\sqrt{3},2 (30° 60° 直角三角形)\\&1,2,\sqrt{5} \\\end{split}$

等腰三角形

等边三角形

相似

全等

阴影部分面积

对称线

立体几何

正方体

柱体 ⭐️

球体 ⭐️

概率

穷举法 ⭐️

勾叉大法 ⭐️

分类与分步的综合应用

9大模型 一一对应

解题思路共有$A_n^n$种不同的分法$A_3^3:3个元素一一对应$

9大模型 错排模型

解题思路元素个数：2 3 4 5 … n错排总数：1 2 9 44 … $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$

9大模型 捆绑法

9大模型 插空法

9大模型 涂色问题 ⭐️

9大模型 信箱模型

解题思路1. 共有$n^m$种分法;$可重复^{不可重复}$2. 邮箱可以重复使用，n在下3. 信不可以重复使用，m在上

9大模型 分堆模型

解题思路
1. 按照临界点，分类去符号
2. 有平方，$|x|^2= x^2 $
3. 对称性，可令a>=b

解题思路
1. `同向`竞争，速度`相减`，$(v_1-v_2)t = nS$
2. `反向`竞争，速度`相加`，$(v_1+v_2)t = nS$
n:相遇次数；
S:跑道一圈的长度；
v1:甲的速度；
v2:乙的速度；
t:相遇的时间；

解题思路
1. 是标准形式$ax^2+bx+c=0$么？
2. 有明确是一元二次么？$(a\neq0)$
3. 有明确两根不相等么？

解题思路
等差数列的通项公式$a_n$:
1. $a_n = d·n + (a_1-d) = k·n + b $
2. $a_n$是以n为变量的一次函数
3. $a_n$是以公差d为斜率的一条直线

b+d = a+c
a=a
b=a+d
c=a+2d

解题思路
1. 利用递推关系，发现周期数
2. 同余、同位、同规律

$\begin{split}⭐️
&3,4,5 \\
&5,12,13 \\
&7,24,25 \\
&1,1,\sqrt{2} (等腰直角三角形)\\
&1,\sqrt{3},2 (30° 60° 直角三角形)\\
&1,2,\sqrt{5} \\
\end{split}
$

9大模型一一对应

解题思路
共有$A_n^n$种不同的分法
$A_3^3:3个元素一一对应$

9大模型错排模型

解题思路
元素个数：2 3 4 5 … n
错排总数：1 2 9 44 … $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$

9大模型捆绑法

9大模型插空法

9大模型涂色问题 ⭐️

9大模型信箱模型

解题思路
1. 共有$n^m$种分法;$可重复^{不可重复}$
2. 邮箱可以重复使用，n在下
3. 信不可以重复使用，m在上

9大模型分堆模型

9大模型隔板法 `相同小球`

9大模型伯努利模型 ⭐️

$y = |x-a|+|x-b| (a<b)$`平底锅型` ⭐️

$y = |x-a|-|x-b| (a>b)$`Z型` ⭐️

解题思路
1. af(x)>0,解集为`两边开`，即x<x1(小根)或x>x2(大根);
2. af(x)<0,解集为`中间缩`，即x1(小根)<x<x2(大根);
3. 已知不等式$ax^2+bx+c>0$解集是(m,n)<=>方程$ax^2+bx+c=0$的根是x1=m,x2=n,`边界为根`；