199数学基础总结

实数

数的分类

1. 实数分类

   

   • 在实数范围1内，有理数和无理数是矛盾关系，即一个实数，不是有理数就一定是无理数，不是无理数就一定是有理数。
2. 自然数：像0，1，,2，3，4，5…这样
3. 有理数：整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n的形式(m，n都是整数， 且n不等于0，m，n互质)。 在有理数范围内，整数和分数是矛盾关系，即一个有理数，不是整数就一定是分数，不是分数就一定是整数。
4. 平方根：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个数x就叫作a的平均根(也叫作二次平方根)。
   • 0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
5. 算数平方根：如果一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就叫作a的算术平均根，记为$\sqrt{a}$，读作根号a。
   • 有理数与无理数的运算法则来分析题目，等式左、右两边的有理数与无理数要对应相等。

数的整除

1. 被除数 = 除数x商+余数
2. 余数<除数 ，除数>0，余数=0==>整除
3. 被除数、除数、商、余数均为整数

-8➗5的余数为(-5x2)+2,余数为(2)

整除技巧⭐️

• 2=$2^1$ 末尾能被2整除

  • $\frac{10}{2} = 5$

• 4=$2^2$ 末2位能被4整除

  • $\frac{100}{4} = 25$

• 8=$2^3$ 末3位能被8整除

  • $\frac{1000}{8} = 125$

• 3 各位之和数能被3整除的

• 6 各位数能被3整除的偶数 6=3*2(2是偶数)

• 9 各位之和数能被9整除的

• 5 个位数为0或5

• 10个位数为0

• 7 去除末位数，在减去末位数的2倍依然能被7整除

例子

1. 7的推导
   $
   \begin{split}
   &=\underline{abc} \\
   &=\overline{ab}-2c = 7k \\
   &=10a+b-2c = 7k \\
   &=10a+b = 2c+7k \\
   &=100a+10b = 20c+70k \\
   &=100a+10b+c = 21c+70k \\
   &= \overline{abc} \\
   &= 7(3c+10k) \\
   \end{split}
   $

2. 1989能否被3整除，体会思路
   $\begin{split}
   &=1*999+1+9*99+9+8*9+8+9 \\
   &=1*999+9*99+8*9+1+9+8+9 \\
   &=1*999+9*99+8*9+27 \\
   & 999 、99、 9、 27 都可以被三整除,所以1989可以被三整除
   \end{split}$

不定方程⭐️

不定方程的特征：

• 变量为整数
• 未知数的个数>(多于，大于)方程的个数

不定方程的求解：

1. 列式子
2. 化简,尽可能地消元，最终表示为一元函数，称之为不定函数；
3. 穷举

奇数、偶数⭐️

1. 两数之和为奇数，必定为一奇一偶。
2. 两数之和为偶数，必定为同奇同偶。
3. a+b、a-b同奇同偶。
4. 多数之积为奇数，必全为奇数。
5. 多数之积为偶数，至少有一个偶数。

质数、合数

1. 质数
   一个大于1的整数，若只有1和它本身两个因数，则这个数叫作质数，又叫素数。
   如2，3， 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，⋯，其中，2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。
2. 合数
   一个大于1的整数，若除了1 和它本身以外还有别的因数，则这个数叫作合数．
   如 4，6， 8，9，10，12，14，15，16，18，20，⋯，其中，4是最小的合数，9是最小的奇合数，所有大于2的偶数都是合数。
   一个大于1的整数，不是质数就一定是合数，不是合数就一定是质数。
   1既不是质数，也不是合数。
3. 质因数
   每个合数都可以写成几个质数(素数)相乘的形式，这几个质数就都叫作这个合数的质因数。
4. 正约数的个数
   将所给的数质因数分解为M=$a^x·b^y·c^z$(a，b，c均为质数，z，y，之均为正整数)，则M的正约数个数为(x+1)(y+1)(z+1)个。

公约数、公倍数

互质

公约数只有1的两个非零自然数，叫作互质数，如4和9。

求正公约数⭐️

$m = a^x*b^y*c^z$

• x,y,z为正数
• a,b,c为质数

结论：m有(x+1)(y+1)(z+1)个正约数

例子

1. 360
   $\begin{split}
   &=36*10 \\
   &=2^2*3^2*2*5 \\
   &=2^3*3^2*5 \\
   &=(3+1)(2+1)(1+1) \\
   &=4*3*2 \\
   &=24个正约数
   \end{split}
   $

2. 2000
   $\begin{split}
   &=2*10*10*10\\
   &=2^4*5^3 \\
   &=(4+1)(3+1)\\
   &=5*4\ \\
   &=20个正约数
   \end{split}
   $

绝对值

定义

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫作这个数的绝对值。

|x|$\begin{cases}
x,x>0\\
0,x=0\\
-x,x<0
\end{cases} $

|x|=|x-0|表示x到0的距离；
|x-y|表示x到y的距离；

性质

$\begin{cases}
|x|\geq0;\\
|x| = |-x|;\\
x^2= |x^2|;\\
\sqrt{x} = |x|
\end{cases} $

关系

只有|x|>=x,|x|>=-x恒成立，其余关系都不是恒成立。

数轴

画一条水平直线，在直线上取一点表示 0，选取某十长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大;

对称性⭐️

交换变量a,b，不改变结果，则称变量a,b满足对称性；
交换变量a,b,b中的任意两个变量不改变结果，则称变量a,b,c满足对称性；

非负性⭐️

解题信号：

1. $| | + ( )^2 + \sqrt{()} = 0$
2. 未知数的个数多于方程的个数。

解题思路：

1. 右边整理成0；
2. 左边整理成 $| | , ( )^2 , \sqrt{()} $的标准形式
3. $| | =0, ( )^2 =0, \sqrt{()} =0$

绝对值方程

|x|=m

1. 当m>0时,x=m或m=-m;
2. 当m=0时,x=0;
3. 当m<0时,无解；

绝对值不等式⭐️

三角不等式

$\begin{split}
&\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}(两边之和大于第三边) \\
& |x|+|y| \geq |x+y| 恒成立\\
& |x|+|y| = |x+y| xy \geq 0\\
& |x|+|y| > |x+y| xy<0\\
\end{split}
$

例子

$\begin{split}
&求|x-2|+|4-x|的最小值\\
&\Rightarrow|x-2|+|4-x|\geq |x-2+4-x| \geq 2(最小值)\\
\end{split}
$

绝对值函数、图像 ⭐️⭐️

V型

$y = |x-a|$
解题思路：先画出 y=x-a的图像，为一条直线，把x轴下方的部分翻折上去，图像关于x=a 轴对称，图像最低点为(a，0);

平底锅型

$y = |x-a|+|x-b| (a<b)$
解题思路：

1. 最大值不存在，当a≤x≤b时，取最小值|b-a|。
2. 图像中间平，两头翘，如图所示。

   

Z型

$y = |x-a|-|x-b| (a>b)$
解题思路：

1. 当x≥b时，取最大值|b-a|；当x<=a 时，取最小值-|b-a|。
2. 图像中间斜，两边平，如图所示。
3. 临界点(a,-|b-a|),(b,|b-a|)

   

深V型

$y = |x-a|+|x-b|+|x-c| (a<b<c)$
解题思路：
最大值不存在，当x=b时，有最小值，取到最小值|c-a|

铁轨型

$|y-kx|=b$
解题思路：

1. 斜率为k,截距为±b的两条平行线；
2. |y-kx|<b 表示平行线内部区域；
3. |y-kx|>b 表示平行线外部区域；

   

方圆

$|x-a|+|x-b|=r$
解题思路：

1. 中心点(a,b),横半径为r,纵半径为r的正方形。

   

应用题

比与比例

⭐️比、比例

逐句炼化，逢比设k，注意变化，建立等式；

B比A增长p% <=>B是A的(1+p%)倍
B比A减少p% <=>B是A的(1-p%)倍
甲：乙 = a:b，可设甲=ak,乙=bk,化相对量为绝对值；

纯比例问题

解题信号：条件中全是比例；
解题思路：

1. 以谁为基准，设谁为1；
2. 比，占，是，为之后的量为基准；
3. 同一类变量只能设1个基准；

多变量的比例问题

找到中间变量，利用公倍数，化为统一层级；
利用公倍数，将多个比例化简成一个比例。

双属性问题

一个总量，按几个不同的标准进行分类，用二叉表来进行分类。
解题信号：按照属性A,可分为A与非A,按照属性B,可分为B与非B;
解题思路：细分下来，有A,非A,B，非B

金融问题

⭐️盈亏问题

解题信号： 成本(进价)，售价，利润，利润率
解题思路：

1. 利润 = 售价-成本；
2. 利润率 = 利润/成本；
3. 按资金流水列出：成本 标价 利润 利润率；
4. 利润率为p% <=>售价是成本的(1+p%)倍；
5. 亏损p%<=>利润率为-p%<=>售价是成本的(1-p%)倍

售价 = 成本·(1+x%)
利润率为x%等价于

1. 利润率是成本的x%
2. 售价比成本多x%
3. 售价是成本的(1+x%)倍
4. 售价 = 成本·(1+x%<利润率>)

利息问题

解题信号：年利率、连续增长、连续下降；
解题思路：

1. $C(1+p)^n$ ;
2. C:本金；
3. p:利息；
4. n:利息周期数；
5. 1+p:增长倍数，也是对应等比数列的公比q;

⭐️平均增长率

解题信号：平均增长速度、平均每次节约、平均增长率；
解题思路：

1. $已知首月a_1,末月a_n,则月平均增长率为：p = \sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}-1$;
2. $已知首月a_1,从a_1到a_n的月平均增长率为p,则 a_n=a_1(1+p)^{n-1}$;
3. 中间月份$a_2 至 a_{n-1}$ 是求不出的；平均增长率与中间月份无关；

其它

• 税率
  税率是指纳税人的应纳税额与征税对象数额之间的比例，是法定的计算应纳税额的尺度。
• 分段计费
  按照分段计贵标准，完全分类，不重不漏，制作表格。

浓度问题

浓度
溶质 + 溶剂 = 溶液
浓度 = 溶质/溶液 * 100%

⭐️溶质变化

解题信号：溶质不变，加水或者蒸发水
解题思路：

1. 变化前溶质；
2. 变化后溶质；
3. 溶质守恒

⭐️稀释模型 反复配比

解题信号：
容积为V升的容器装满浓度为a%的溶液，
倒出x升，加满水;
再倒出y升，加满水;
此时的浓度为？
解题思路：

1. $第一次的稀释比为 \frac{V-x}{V}$
2. $第一次的稀释比为 \frac{V-y}{V}$
3. $最终浓度为：初始浓度·稀释比1·稀释比2，即a\% · \frac{V-x}{V} · \frac{V-y}{V}$

⭐️平均值问题 交叉法 加权平均值

1. 对应写两边
2. 总的写中间
3. 价差相减成比例

已知大因、小因，比例可求中果
已知大因、小因，中果可求比例

1. 化比例为权重，权重1+权重2=1
2. 中果 = 大因x权重1 + 小因x权重2； (加权平均值)

加权平均值$\frac{权重1}{权重2} = \frac{中果-小因}{大因-中果} 中果 \frac{大因}{小因}$

行程问题

路程守恒问题

s = vt，其中s为路程，v为速度，t为时间。
画出路程图，寻找等量关系。
不画图就是作死！！！

⭐️通过问题

时间长度 = 自身长度 + (火车/桥梁…)的长度
火车长度为L，隧道长度为S，则火车以速度 ，通过隧道的时间为t=$\frac{S+L}{s} $

⭐️环形跑道问题

解题信号：环形跑道、相同、相反

解题思路：

1. 同向竞争，速度相减，$(v_1-v_2)t = nS$
2. 反向竞争，速度相加，$(v_1+v_2)t = nS$
   n:相遇次数；
   S:跑道一圈的长度；
   v1:甲的速度；
   v2:乙的速度；
   t:相遇的时间；

⭐️直线反复相遇问题

①两端出发，n次迎面相遇，两人所走过的路程和为(2n—1)S=(V甲+V乙)t。
②两端出发，n次追及相遇，两人所走过的路程差为(2n-1)S=(V甲-V乙)t。
③一端出发，n次迎面相遇，两人所走过的路程和为 2nS=(V甲+V乙)t。
④一端出发，n次追及相遇，两人所走过的路程差为 2nS=(V甲-V乙)t。

相对速度问题

解题信号：两个或两个以上的运动物体相同、相向、时间相等；
解题思路：

1. v相 表示单位时间内两物体整体距离的变化量。
   • 同向速度相减,v相 = v1-v2;
   • 反向速度相加，v相 = v1+v2;
2. S相 表示t个单位时间内两物体整体距离的变化量。
   • 开始时，设距离为0的两参照点为A,B。结束时，两参照点A,B的距离为S相。
3. $t = \frac{S_相}{v_相}$

行舟问题

解题信号：

1. 船在水中行驶；
2. 两码头距离、船在静水中的速度、水流速度，船的实际速度；

解题思路：

1. 顺水行舟，速度相加，$v_顺 = v_静 + v_水$;
2. $v_相 = v_顺 - v_水 = v_静 $;
3. 逆水行舟，速度相减，$v_逆 = v_静 - v_水$;
4. $v_相 = v_顺 + v_水 = v_静 $;

时间守恒⭐️

解题信号：约好同时出发，同时结束，但是有人迟到、旷课、早退，或因速度变化而导致时间不守恒；
解题思路：

1. 两方案的时间差 $\Delta_t$;
2. 第一个方案实际发费的时间为$\frac{S_1}{v_1}$
3. 第二个方案实际发费的时间为$\frac{S_2}{v_2}$
4. $\frac{S_1}{v_1} \pm \frac{S_2}{v_2} = \Delta_t (时间守恒)$

工程问题

解题信号：工程、合作、工作量；
解题思路：

1. 总工程量= 1 = 100%；
2. 时间
   • 甲单独完成工程需要x天；
   • 乙单独完成工程需要y天；
3. 效率
   • 甲每天可以完成1/x;
   • 乙每天可以完成1/y;

集合、容斥原理问题

方程问题

1. 解一元一次方程
   一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1 等步骤，把一个一元一次方程转化成 x=a 的形式．
2. 解二元一次方程组
   ①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法。
   ②通过两式相加(减)消去其中一个未知数，这种解方程组的方法称为加减消元法。

不等式问题 ⭐️

精准翻译
精准翻译
精准翻译
不等式不能相减，可相加
使用带入消元
如果最后为相减(例：x-y，可以变号改为x+(-y))

1. 解一元一次不等式
   一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，转化成x与a的形式。
2. 解一元一次不等式组
   分别求出每个不等式的解集，再取交集即可。
3. 不等关系
   • $a>b \iff a-b>0$
   • $a=b \iff a-b=0$
   • $a<b \iff a-b<0$
4. 不等式的性质
   • 对称性 $a>b \iff b<a(双向性)$
   • 传递性 $a>b，b>c \implies a>c(单向性)$
   • 可加性 $a+b \iff a+c<b+c(双向性)$
   • $a>b，c>d \implies a+c>b+d(单向性)$
   • 可乘性 $a>b,c>0 \implies ac>bc;a>b,c<0 \implies ac<bc$
   • $a>b>0,c>d>0 \implies ac>bd(单向性)$
   • 乘法法则 $a>b>0,a^2>b^2(n\in N,n\geq1)(单向性)$
   • 开方法则 $a>b>0,\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b},(n\in N,n\geq2)(单向性)$
   • 倒数性质 $设ab>0,则a<b \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b} (双向性)$
   • 有关分数的性质 $若a>b>c,m>0$,则
     • $\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m} ; \frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}(a-m>0)$
     • $\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m} ; \frac{a}{b}<\frac{a-m}{b-m}(b-m>0)$

整式、分式

基础的都会不写了

完全平方公式

1. 当a=b时等号成立， $4ab\leq(a+b)^2\leq2(a^2+b^2)$
2. $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
   $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq0,即a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca具有非负性$
   $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0 \iff $a,b,c全部相等
3. $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
   若长方体的长宽高分别为a,b,c，则 $S_表= 2ab+2bc+2ca,对角线长d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}，故(长+宽+高)^2 = d^2+S_表 $

立方公式

基本公式
$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

1. 变形1
   $a^3+b^3 = (a+b)[(a+b)^2-3ab] 知道a+b,ab即可求出a^3+b^3 $
   $a^3-b^3 = (a-b)[(a-b)^2+3ab] 知道a-b,ab即可求出a^3-b^3$
2. 变形2
   $当a=b=0时，a^2+b^2-ab=0,当a,b不全为0时，a^2+b^2-ab>0$
   $所以a^2+b^2-ab \geq恒成立$
   $所以a^3+b^3与a+b同号$
   $a^3-b^3与a-b同号$ 同号
3. 变形3
   $x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1) =(x+\frac{1}{x})[(x+\frac{1}{x})^2-3] $
   $已知x+\frac{1}{x},可求x^3+\frac{1}{x^3}$
4. 变形4
   $(a+b)^3 = a^3+2a^2b+2b^2a+b^3$
   $即(a+b)^3 = C_3^0·a^3b^0+C_3^1·a^2b^1+C_3^2·a^1b^2+C_3^3·a^0b^3$

因式分解

因式分解、十字相乘 基本功不多总结

因式定理

多项式f(x)含有因式x-a
<=>x=a为方程f(x)=0的根
<=>多项式f(x)能被x-a整除
<=>x=a为函数y=f(x)的零点。

分式

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A*D}{B*D}:\frac{C*B}{D*B} = AD:BC $

例子

$ \frac{20}{9}:\frac{5}{2} = 20*2<9*5 \Rightarrow \frac{20}{9} < \frac{5}{2} $
$ \frac{495}{199}:\frac{5}{2} = 495*2<5*199 \Rightarrow \frac{495}{199}<\frac{5}{2} $